163. Сумма на гранях

Вася взял игральную кость и написал на гранях числа $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ и $a_6$.

Для генерации случайного числа Вася решил воспользоваться следующим алгоритмом:

• Выбрать число $k$.
• Подбросить кубик $k$ раз и записать на листик последовательно выпавших чисел $b_j$.
• Пройтись по списку с конца и вычеркнуть число $b_j$, если оно равно $b_{j-1}$ ($b_1$ всегда останется в последовательности).

Определите математическое ожидание суммы оставшихся в последовательности чисел, если Вася сообщит вам числа $a_i$ и $k$.

Обратите внимание, что кубик у Васи честный и все выпадение любой из граней равновероятно. Кроме этого, подбрасывания кубика независимы.

В первой строке записаны 6 целых чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$ и $a_6$ ($1 \le a_i \le 1000$).

Во второй строке записано одно число $k$ ($1 \le k \le 1000$).

Выведите одно вещественное число — требуемое по условию задачи математическое ожидание.

Ответ будет считаться верным, если относительная или абсолютная погрешность не будет превышать $10^{-6}$.

В первом примере из 36 возможных исходов в 6 будет вычеркнуто повторяющееся число.

Во втором примере возможна единственная последовательность 1 1 1, после вычеркивания двух двоек длина последовательности станет равной одному.